Pengertian Relasi dan sifat relasi bilangan biner
Materi Kuliah

Pengertian Relasi dan Sifat Relasi Biner

Pada artikel kali ini saya akan memberikan sebuah materi tentang Pengertian Relasi dan Sifat Relasi Biner . untuk lebih lengkapnya silahkan baca artikel berikut ini sampai selesai .

Pengertian Relasi dan Sifat Relasi Biner

Pengertian Relasi

   Relasi yaitu sesuatu yang menunjukkan hubungan unsur-unsur yang termuat dalam himpunan tertentu dengan unsur-unsur yang termuat dalam himpunan yang lain. Kemudian menurut Gazali (2005)

Himpunan A dan B mempunyai relasi apabila ada cara atau aturan tertentu mengaitkan antara anggota A dengan anggota B. Sehingga relasi dari himpunan A ke anggota himpunan B adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota – anggota himpunan B

Baca Juga

Cara Membuat Daftar Tabel di Ms. Word Dengan Cepat

Cara menuliskan relasi  :

A R B atau R : A -> B = { ( a,b) | a € A dan b € B}

Cara Menyajikan Relasi

Relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan yang lainnya dapat disajikan dalam beberapa cara yaitu dengan :

  1. Diagram Panah
  2. Diagram Cartesius
  3. Himpunan Pasangan Berurutan
1

b.1 . Diagram Panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

b.2. Diagram Kartesius

Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu mendatar (sumbu-X), sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu tegak (sumbu-Y). Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah atau titik seperti terlihat pada gambar.

b.3 Himpunan Pasangan Berurutan

Selain menggunakan diagram panah dan kartesius, sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Adapun cara penulisannya adalah anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya.gram Panah

Berdasarkan soal di atas, maka diperoleh himpunan pasangan berurutan sebagai berikut.

{(Rani, basket), (Rani, bulu tangkis), (Dian, basket), (Dian, atletik), (Isnie, senam), (Dila, basket), (Dila, tenis meja)}

Contoh 2 :

Himpunan A : himpunan nama orang

A={Via, Andre, Ita}

Himpunan B : himpunan nama makanan

B={es krim, coklat, permen}

Relasi makanan kesukaan (R) dari himpunan A dan B adalah:

A                                 B

2

A : Domain

B : Kodomain

R : Relasi dengan nama “ Makanan Kesukaan “

 Relasi R dalam A artinya domain dan kodomainnya adalah A

  1. Cara Menyatakan Relasi

1)      Diagram Panah

A                                       B

3

R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B

2)      Himpunan Pasangan Berurutan

R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

3)      Diagram Kartesius

4

SIFAT RELASI BINER

Beberapa Sifat Relasi

Relasi yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. Sifat-sifat tersebut antara lain :

Refleksif (reflexive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat refleksif jika (a, a) ∈ R untuk setiap a A. Dengan kata lain, suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak refleksif jika ada a A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R adalah relasi ‘≤’ yang didefinisikan pada himpunan A, maka

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

Terlihat bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.

Contoh :

Misalkan A = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.

Jika kita definisikan relasi R pada himpunan A dengan aturan :

(a, b) ∈ R jika a faktor prima dari b

Perhatikan bahwa (4, 4) ∉ R .

Jadi, jelas bahwa R tidak bersifat refleksif.

Sifat refleksif memberi beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu :

  • Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang unsur diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,
  • Relasi yang bersifat refleksif jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka pada graf tersebut senantiasa ditemukan loopsetiap simpulnya.

Transitif (transitive)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c A.

Contoh :

Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan oleh :

a R b jika dan hanya jikan a membagi b, dimana a, b A,

Jawab :

Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}

Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8) ∈ R terlihat bahwa (2, 8) ∈ R.

Dengan demikian R bersifat transitif.

Contoh :

R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh :

R : a + b = 5, a, b A,

Jawab :

Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :

R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }

Perhatika bawa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R , tetapi (1, 1) ∉ R.

Dengan demikian R tidak bersifat transitif.

Sifat transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh :

Jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b A, maka (b, a) ∈ R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈ R sementara itu (b, a) ∉ R.

Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R berlaku hanya jika a = b. Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a b.

Contoh :

Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh:

a R b jika dan hanya jika a b ∈ Z.

Periksa apakah relasi R bersifat simetri !

Jawab :

Misalkan a R b maka (a b) ∈ Z, Sementara itu jelas bahwa (b a) ∈ Z.

Dengan demikian R bersifat simetri.

Contoh :

Tunjukan bahwa relasi ‘≤’ merupakan pada himpunan Z. bersifat anti simetri

Jawab :

Jelas bahwa jika a b dan b a berarti a = b.

Jadi relasi ‘≤’ bersifat anti simetri.

Contoh :

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

Contoh :

Misalkan relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } maka relasi R merupakan relasi yang simetri sekaligus relasi yang anti simetri.

Sifat simetri dan anti simetri memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian berbentuk matriks maupun graf, yaitu :

  • Relasi yang bersifat simetri mempunyai matriks yang unsur-unsur di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-unsurdi atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, n adalah :

Relasi yang bersifat simetri, jika disajikan dalam bentuk graf berarah mempunyai ciri bahwa jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.

  • Relasi yang bersifat anti simetri mempunyai matriks yang unsur mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i j, maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi anti simetri adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i j :

sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat anti simetri mempunyai ciri bahwa tidak akan pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.

Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh :

R–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R }

Contoh :

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.

Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q yaitu :

(p, q) ∈ R jika dan hanya jika p habis membagi q

maka kita peroleh :

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)

R–1 merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk :

(q, p) ∈ R–1 jika q adalah kelipatan dari p

sehingga diperoleh :

R–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }

Jika M adalah matriks yang menyajikan suatu relasi R,

maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *